Leyes de Kirchhoff
Objetivo
El objetivo es traducir la conservación de la carga y de la energía a ecuaciones, usando un convenio de signos coherente.
Gustav Robert Kirchhoff enunció, en 1845, dos leyes que permiten la resolución sistemática de problemas de circuitos eléctricos que presentarían muchas dificultades de solución mediante la ley de Ohm. Dichas leyes están basadas en la conservación de la carga eléctrica (primera ley) y en la conservación de la energía (segunda ley).
Para entender bien las leyes de Kirchhoff, primero tenemos que definir algunos conceptos de los circuitos:
- Nudo: es cualquier punto de conexión de un circuito en el que se conecten 3 o más conductores. También se le puede llamar nodo.
- Rama: parte del circuito comprendida entre dos nudos consecutivos.
- Malla: camino en un circuito que permite, partiendo de un nudo cualquiera, volver a él sin pasar dos veces por la misma rama.
Sabiendo esto, las leyes de Kirchhoff son las siguientes:
Primera ley de Kirchhoff
Esta ley también se conoce como ley de las corrientes o ley de los nudos (o nodos). Dice así:
Otro enunciado más genérico es: "la suma algebraica de todas las intensidades de las corrientes que pasan por un nudo es igual a cero." O, matemáticamente:
| \[\sum_{k=1}^{n}I_{k}=0\] |
Para verlo más fácil, mira este ejemplo:
En el nudo de la figura, aplicando la primera ley de Kirchhoff, tendríamos que: \(I_{2}+I_{3}=I_{1}+I_{4}\). Es decir, suma de intensidades que entran en el nudo = suma de las intensidades que salen del nudo.
Segunda ley de Kirchhoff
Esta ley también se conoce como ley de las tensiones o ley de las mallas. Dice así:
Otro enunciado más genérico es: "la suma algebraica de las diferencias de potencial que hay en una malla es igual a cero." Matemáticamente sería:
| \[\sum_{k=1}^{n}V_{k}=0\] |
Vamos a ver un ejemplo de malla de un circuito:
En la malla de la figura, recorrida en el sentido de la flecha y con la corriente circulando en ese mismo sentido, la segunda ley de Kirchhoff da: \(V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}\)
No hemos incluido V5 porque no pertenece a la malla que estamos considerando.
Las caídas de tensión V1, V2 y V3 se pueden calcular mediante la ley de Ohm como \(V=R\cdot I\)
En los ejemplos siguientes, primero con dos mallas, después con tres y por último con cuatro nudos, verás cómo se aplican estas leyes para resolver un circuito paso a paso.
Ejemplo guiado: dos mallas
Antes de abrir la resolución
Intenta primero plantear tú las ecuaciones: una de nudo y dos de malla. Después contrasta tu planteamiento con el desarrollo guiado.
Calcula la intensidad de corriente que circula por cada rama del siguiente circuito:
Abrir la resolución paso a paso
1. Nudos, ramas y mallas. El circuito tiene 2 nudos (A arriba y B abajo) y 3 ramas, así que hay 3 corrientes desconocidas y hacen falta 3 ecuaciones. La ley de nudos se aplica en todos los nudos menos en uno, porque la ecuación del último no aporta información nueva: aquí, N − 1 = 1 ecuación. Las que faltan las dan las mallas: \(M=R-(N-1)=3-(2-1)=2\), las dos ventanas del circuito, MA y MB, recorridas en sentido horario.
2. Corrientes de rama. Se dibuja una flecha en cada rama. En las ramas con fuente, saliendo por el borne positivo, que es el sentido más probable; en la rama central, hacia abajo.
3. Ley de nudos en A. Entran I1 e I3; sale I2:
\[I_{1}+I_{3}=I_{2}\qquad(1)\]
4. Ley de mallas. En cada malla, \(\sum E=\sum R\cdot I\), con este convenio de signos, el mismo en todo el libro: la E es positiva si se sale de la fuente por su borne +, y el término R·I es positivo si se recorre la resistencia en el sentido de su flecha.
- MA: se sube por E1 y R1 (se sale de E1 por el + y se va a favor de I1) y se baja por R2, a favor de I2.
- MB: se sube por R2, contra I2, y se baja por R3 y E2: contra I3 y saliendo de E2 por su borne −.
\[M_{A}:\ E_{1}=R_{1}\cdot I_{1}+R_{2}\cdot I_{2}\ \Rightarrow\ 14=4\,I_{1}+2\,I_{2}\qquad(2)\]
\[M_{B}:\ -E_{2}=-R_{2}\cdot I_{2}-R_{3}\cdot I_{3}\ \Rightarrow\ 9=2\,I_{2}+3\,I_{3}\qquad(3)\]
En (3) se han cambiado de signo los dos miembros para quitar los negativos.
5. Resolución por sustitución. Se lleva (1), \(I_{2}=I_{1}+I_{3}\), a (2) y (3):
\[14=4\,I_{1}+2\,(I_{1}+I_{3})\ \Rightarrow\ 14=6\,I_{1}+2\,I_{3}\qquad(4)\]
\[9=2\,(I_{1}+I_{3})+3\,I_{3}\ \Rightarrow\ 9=2\,I_{1}+5\,I_{3}\qquad(5)\]
De (4) se despeja I3 y se sustituye en (5):
\[I_{3}=7-3\,I_{1}\ \Rightarrow\ 9=2\,I_{1}+5\,(7-3\,I_{1})=35-13\,I_{1}\ \Rightarrow\ I_{1}=\frac{26}{13}=2\ \text{A}\]
\[I_{3}=7-3\cdot 2=1\ \text{A}\qquad I_{2}=I_{1}+I_{3}=3\ \text{A}\]
6. Interpretación y comprobación. Las tres corrientes salen positivas: los sentidos dibujados son los reales y las dos fuentes entregan energía. El balance de potencias lo confirma:
\[P_{\text{fuentes}}=E_{1}\,I_{1}+E_{2}\,I_{3}=14\cdot 2+9\cdot 1=37\ \text{W}\]
\[P_{\text{resistencias}}=R_{1}\,I_{1}^{2}+R_{2}\,I_{2}^{2}+R_{3}\,I_{3}^{2}=4\cdot 4+2\cdot 9+3\cdot 1=37\ \text{W}\]
Ejemplo de referencia: tres mallas
Antes de abrir la resolución
Primero intenta plantear por tu cuenta los sentidos, la ecuación de nudo y las ecuaciones de malla. Después contrasta tu planteamiento con el desarrollo guiado.
Este circuito tiene cuatro ramas y dos nudos: hacen falta una ecuación de nudo y tres de malla. El método es el mismo que en el ejemplo de dos mallas, pero aquí se explica cada paso con más detalle. Encuentra la intensidad de corriente que circula por cada rama:
Abrir la resolución completa paso a paso
Para resolver este tipo de circuitos empleando las leyes de Kirchhoff debemos ser sistemáticos y metódicos. Te recomiendo seguir los pasos en el orden en que se explican para tratar de establecer un sistema que podamos seguir siempre igual, minimizando la posibilidad de equivocarnos.
En primer lugar, vamos a redibujar el circuito para nombrar todos los elementos que haya en él. Identificaremos las resistencias y las fuentes de tensión del circuito. Seguiremos la siguiente nomenclatura:
- Resistencias: las llamaremos R1, R2, etc.
- Fuentes de alimentación: las nombraremos E1, E2, etc.
El circuito, con cada elemento nombrado, queda así:
A continuación, identificaremos los nudos y las mallas del circuito. Además, añadiremos las corrientes que circulan por cada rama del circuito. Tendremos en cuenta siempre lo siguiente:
Nudos
Los llamaremos A, B, etc. Aunque los nombraremos todos, luego la ley de nudos de Kirchhoff (primera ley) la aplicaremos en todos los nudos menos en uno.
Da exactamente igual el sentido en que nombremos los nudos y también dará igual cuál dejar fuera a la hora de aplicar la ley de Kirchhoff. En este ejercicio de ejemplo hay dos nudos, a los que llamamos A y B. Los puntos unidos por un cable sin ningún elemento entre ellos forman un mismo nudo: todo el cable de arriba es el nudo B, y todo el de abajo, el nudo A.
Mallas
Las llamaremos MA, MB, etc. Indicaremos sobre el circuito el sentido de recorrido de cada malla mediante una flecha. Da exactamente igual el sentido elegido para cada malla, pero para no liarnos, recomiendo elegir siempre el sentido horario.
ATENCIÓN: hay muchas mallas en este circuito, pero no las necesitamos todas. En general, el número de mallas que necesitamos considerar será siempre:
| \[M=R-(N-1)\quad\text{donde}\ \left\{\begin{array}{l} M:\ \text{número de mallas} \\ R:\ \text{número de ramas} \\ N:\ \text{número de nudos} \end{array}\right. \] |
Como en este circuito tenemos 4 ramas (R) y 2 nudos (N), necesitamos considerar \(M=4-(2-1)=3\) mallas: MA, MB y MC.
Intensidades de corriente
Las nombraremos I1, I2, etc. Las indicaremos mediante una flecha en cada rama del circuito.
Dibujaremos las corrientes con el sentido que queramos, da exactamente igual. Si obtenemos un valor positivo significa que habremos acertado con el sentido verdadero y si obtenemos un valor negativo significará que la corriente va al revés de como la dibujamos. Para evitar muchos resultados negativos, recomiendo pensar un poco cuál será el sentido más probable antes de dibujar las corrientes (el sentido más probable será saliendo por el positivo de las fuentes).
Con esto, nuestro circuito quedaría así (he tomado las 3 mallas que forman las ventanas del circuito, aunque podría haber elegido otras, como la exterior del todo):
Ahora ya estamos en disposición de aplicar las leyes de Kirchhoff.
Primera ley de Kirchhoff (ley de nudos)
La primera ley la aplicaremos en todos los nudos que haya en el circuito menos en uno. Como en este circuito hay sólo 2 nudos, la primera ley sólo la aplicaremos en uno de ellos. Da exactamente igual en cuál la apliquemos, yo lo voy a hacer en el nudo A:
| \[ \sum I_{ENTRAN}=\sum I_{SALEN}\] |
| \[\text{Nudo A}: I_{2}=I_{1}+I_{3}+I_{4}\] |
Segunda ley de Kirchhoff (ley de mallas)
La segunda ley la aplicamos en las mallas necesarias para tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Como en este circuito hay 4 ramas, el número de incógnitas es 4. Necesitamos 3 ecuaciones más, así que aplicamos la segunda ley en 3 mallas cualesquiera (en este caso, las que he marcado en la figura anterior). Es lo mismo que ya calculamos antes con la fórmula \(M=R-(N-1)\), aunque quizá te resulte más fácil pensarlo como completar hasta el número de incógnitas.
IMPORTANTE: para aplicar la segunda ley debemos tener en cuenta los signos de los términos de la ecuación. Seguiremos siempre estas reglas:
- Fuentes de tensión: si, al recorrer la malla en sentido horario, salimos de la fuente por su terminal positivo, la "E" irá positiva. Si salimos por el terminal negativo, la "E" irá negativa.
- Resistencias: las caídas de tensión se expresarán en función de la intensidad aplicando la ley de Ohm (R·I). Si, al recorrer la malla en sentido horario, pasamos por la corriente en el mismo sentido que tiene su flecha, irá con signo positivo en la ecuación. Si pasamos por la corriente en sentido contrario a su flecha, llevará signo negativo en la ecuación.
Con todo esto en cuenta, la segunda ley de Kirchhoff aplicada a las mallas quedará:
| \[\sum E=\sum R\cdot I\] |
| \[\left\{\begin{array}{lll} M_{A}: E_{1}=R_{1}\cdot I_{1}+R_{2}\cdot I_{2} \\ M_{B}: -E_{2}=-R_{2}\cdot I_{2}-R_{3}\cdot I_{3} \\ M_{C}: E_{2}-E_{3}=R_{3}\cdot I_{3}-R_{4}\cdot I_{4} \end{array}\right.\] |
Recapitulando, tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:
|
\[ \left\{\begin{array}{rrrr} |
Sustituyendo los valores de los datos del problema, y cambiando de signo la ecuación (3) para simplificar, obtenemos lo siguiente:
|
\[ \left\{\begin{array}{rrrr} |
Podemos resolver el sistema por el método que deseemos. Planteamos aquí una posible solución.
Vamos a intentar obtener expresiones de I2, I3 e I4 en función de I1. Luego sustituiremos estas expresiones en la ecuación (1) para obtener el valor numérico de I1 y ya podremos calcular el resto fácilmente.
Expresión de I2: la obtenemos directamente despejando de (2):
| \[I_{2}=\frac{3-2\cdot I_{1}}{8} \ \ \ \ \ \ \ (a)\] |
Expresión de I3: la obtenemos restando las ecuaciones (2)-(3) y despejando:
| $$ \begin{array}{lll} 3=2\cdot I_{1}+ 8\cdot I_{2} \\ -9= -8\cdot I_{2}-4\cdot I_{3} \\ \hline -6=2\cdot I_{1}-4 \cdot I_{3} \end{array}$$ |
Por lo tanto:
| $$I_{3}=\frac{6+2\cdot I_{1}}{4} \ \ \ \ \ \ \ (b) $$ |
Expresión de I4: la obtenemos sustituyendo (b) en (4) y despejando:
| $$-3=4\cdot \frac{6+2\cdot I_{1}}{ 4}-6\cdot I_{4}\ \Rightarrow \ I_{4}=\frac{9+2\cdot I_{1}}{6} \ \ \ \ \ \ \ (c)$$ |
Ya podemos, por consiguiente, calcular I1 simplemente sustituyendo (a), (b) y (c) en (1) y despejando:
| $$\frac{3-2\cdot I_{1}}{8}=I_{1}+\frac{6+2\cdot I_{1}}{4}+\frac{9+2\cdot I_{1}}{6}$$ |
El m.c.m. de 8, 4 y 6 es 24, así que podemos poner:
| $$\frac{9-6\cdot I_{1}}{24}=\frac{24\cdot I_{1}}{24}+\frac{36+12\cdot I_{1}}{24}+\frac{36+8\cdot I_{1}}{24}$$ |
De donde se tiene que:
| $$9-6\cdot I_{1}=24\cdot I_{1}+36+12\cdot I_{1}+36+8\cdot I_{1}$$ |
Reordenando y despejando:
| $$-50\cdot I_{1}=63 \ \Rightarrow I_{1}=-\frac{63}{50}= -\text{1,26}\ \text{A} $$ |
Ya es trivial calcular el resto de intensidades, sustituyendo el valor calculado para I1 en las ecuaciones (a), (b) y (c):
| $$ I_{2}=\frac{3-2\cdot I_{1}}{8}=\frac{3-2\cdot (-\text{1,26})}{8}= \text{0,69}\ \text{A}$$ |
| $$ I_{3}=\frac{6+2\cdot I_{1}}{4}=\frac{6+2\cdot (-\text{1,26})}{4}= \text{0,87}\ \text{A}$$ |
| $$ I_{4}=\frac{9+2\cdot I_{1}}{6}=\frac{9+2\cdot (-\text{1,26})}{6}=\text{1,08}\ \text{A}$$ |
A la vista de los resultados, se confirma que el sentido de circulación de la corriente es el mismo que hemos dibujado para I2, I3 e I4 y es el contrario del que hemos dibujado para I1. Esto implicaría que la batería E1 no está aportando energía al circuito, sino que se estaría cargando.
Ejemplo guiado: cuatro nudos
Antes de abrir la resolución
Este circuito tiene cuatro nudos y tres mallas que comparten ramas entre sí. Intenta primero plantear tú las ecuaciones: tres de nudo y tres de malla. Después contrasta tu planteamiento con el desarrollo guiado.
Calcula la intensidad de corriente que circula por cada rama del siguiente circuito. Con un amperímetro se ha medido la corriente de la rama de arriba: \(I_{6}=\text{0,5}\ \text{A}\).
Abrir la resolución paso a paso
1. Nudos, ramas y mallas. Hay 4 nudos (A, D y B arriba, C abajo) y 6 ramas, así que hay 6 corrientes de rama. La ley de nudos se aplica en N − 1 = 3 nudos (A, D y B) y las mallas que faltan son \(M=R-(N-1)=6-3=3\): M1 y M2, abajo, y M3, la de arriba, que forman R6, R3 y R2. Como I6 ya se conoce, quedan cinco incógnitas para seis ecuaciones: la que sobra servirá para comprobar.
2. Ley de nudos (las que entran = las que salen):
\[A:\ I_{1}=I_{2}+I_{6}\qquad(1)\]
\[D:\ I_{2}=I_{3}+I_{4}\qquad(2)\]
\[B:\ I_{3}+I_{6}=I_{5}\qquad(3)\]
3. Ley de mallas, en sentido horario y con el convenio de siempre: la E es positiva si se sale de la fuente por su borne +, y el término R·I es positivo si se recorre la resistencia en el sentido de su flecha.
\[M_{1}:\ E_{1}=R_{1}\cdot I_{1}+R_{2}\cdot I_{2}+R_{4}\cdot I_{4}\ \Rightarrow\ 18=10\,I_{1}+5\,I_{2}+8\,I_{4}\qquad(4)\]
\[M_{2}:\ E_{2}=-R_{4}\cdot I_{4}+R_{3}\cdot I_{3}+R_{5}\cdot I_{5}\ \Rightarrow\ 15=-8\,I_{4}+2\,I_{3}+6\,I_{5}\qquad(5)\]
\[M_{3}:\ 0=R_{6}\cdot I_{6}-R_{3}\cdot I_{3}-R_{2}\cdot I_{2}\ \Rightarrow\ 0=15\,I_{6}-2\,I_{3}-5\,I_{2}\qquad(6)\]
4. Se usa el dato. Con \(I_{6}=\text{0,5}\ \text{A}\), las ecuaciones de nudo dejan las demás corrientes en función de I2 e I3:
\[I_{1}=I_{2}+\text{0,5},\quad I_{4}=I_{2}-I_{3},\quad I_{5}=I_{3}+\text{0,5}\]
Al sustituirlas en las tres mallas y agrupar (con el término que no lleva incógnita en el primer miembro), quedan tres ecuaciones con solo dos incógnitas:
\[13=23\,I_{2}-8\,I_{3}\qquad(7)\]
\[12=-8\,I_{2}+16\,I_{3}\qquad(8)\]
\[\text{7,5}=5\,I_{2}+2\,I_{3}\qquad(9)\]
I2 e I3 aparecen en las tres: no se puede resolver malla a malla. Se resuelve un sistema de dos de ellas y la tercera sirve de comprobación.
5. Resolución por reducción. Para eliminar I3 se hace \(2\cdot (7)+(8)\):
\[38=38\,I_{2}\ \Rightarrow\ I_{2}=1\ \text{A}\]
Se sustituye en la (7):
\[13=23-8\,I_{3}\ \Rightarrow\ 8\,I_{3}=10\ \Rightarrow\ I_{3}=\frac{10}{8}=\text{1,25}\ \text{A}\]
Y se deshacen los despejes del paso 4:
\[I_{1}=\text{1,5}\ \text{A},\quad I_{4}=-\text{0,25}\ \text{A},\quad I_{5}=\text{1,75}\ \text{A}\]
Comprobación con la (9): \(5\cdot 1+2\cdot \text{1,25}=\text{7,5}\), se cumple.
6. Interpretación y balance. I4 sale negativa: en esa rama la corriente circula de C a D, al contrario que la flecha dibujada. Las demás van en el sentido de su flecha. Las dos fuentes entregan energía, y el balance de potencias cuadra:
\[P_{\text{fuentes}}=18\cdot \text{1,5}+15\cdot \text{1,75}=\text{53,25}\ \text{W}\]
\[P_{\text{resistencias}}=10\cdot \text{1,5}^{2}+5\cdot 1^{2}+2\cdot \text{1,25}^{2}+8\cdot \text{0,25}^{2}+6\cdot \text{1,75}^{2}+15\cdot \text{0,5}^{2}=\text{53,25}\ \text{W}\]
Simulador: comprueba las leyes de Kirchhoff
Qué vas a hacer
Vas a comprobar con el simulador la solución del circuito K3 de la colección de ejercicios y a interpretar el signo de las lecturas. No hay nada que entregar.
El circuito tiene E1 = 10 V en serie con R1 = 12 Ω, R2 = 4 Ω y R3 = 2 Ω en serie con E2 = 4 V. Cada rama lleva ya un amperímetro, dibujado en el sentido de la flecha de la figura del ejercicio: su + está por donde, según la flecha, entra la corriente. Así, cada amperímetro marca la corriente de rama con el mismo signo que te tiene que salir al resolver el sistema.
Abrir el simulador en una pestaña nueva
Se trabaja más cómodo a pantalla completa. En el móvil, gíralo en horizontal; lo ideal es un ordenador.
Los controles son los mismos que en la práctica de medida: los voltímetros se añaden con Dibujar → Salidas y etiquetas → Voltímetro/Sonda, arrastrando de un punto a otro, y su + queda en el extremo por el que empiezas a arrastrar.
Pasos
- Resuelve en tu cuaderno el circuito K3 de la colección: I1, I2 e I3.
- Compara tus resultados con los amperímetros. ¿Alguna corriente sale negativa? ¿Qué significa?
- Comprueba la ley de nudos con las lecturas: en el nudo A entra I1 y salen I2 e I3.
- Coloca un voltímetro entre los dos cables sueltos de la derecha, empezando por el de arriba (nudo A). Mide VAB = VA − VB. Comprueba que vale R2·I2.
- Coloca otro voltímetro entre los dos cables sueltos de la izquierda, empezando por el de abajo: mide la tensión en R1. Comprueba que vale R1·I1 y que se cumple la ecuación de la malla de la izquierda.
- Haz clic derecho sobre el amperímetro de la rama central y elige Permutar terminales. ¿Qué cambia en la lectura? ¿Ha cambiado la corriente que circula?
Comprueba tus resultados
- I1 = 0,95 A, I2 = −0,35 A e I3 = 1,3 A. El signo negativo de I2 indica que su sentido real es el contrario al de la flecha: por R2 la corriente sube, de B a A.
- Nudo A: 0,95 = −0,35 + 1,3. Las corrientes negativas entran en la ley de nudos con su signo.
- VAB = −1,4 V = 4 · (−0,35): el nudo A está 1,4 V por debajo del B.
- Tensión en R1: 11,4 V = 12 · 0,95. Malla de la izquierda: E1 = R1·I1 + R2·I2, es decir, 10 = 11,4 + (−1,4).
- Al permutar los terminales, la lectura cambia de signo (+350 mA), pero la corriente es la misma. El signo solo dice si la corriente va a favor o en contra del sentido en que se colocó el instrumento, igual que el signo de una corriente al resolver un circuito por Kirchhoff.
Ejercicios de leyes de Kirchhoff
Lista desordenada
Ordena el planteamiento de Kirchhoff. Elegir sentidos no es adivinar el resultado: la solución negativa corregirá una elección opuesta a la corriente real.
- Redibujar el circuito y nombrar resistencias, fuentes, nudos y ramas
- Asignar un sentido de referencia a cada corriente y un recorrido a cada malla independiente
- Escribir ecuaciones de nudo independientes aplicando conservación de la carga
- Escribir las ecuaciones de malla necesarias con un convenio de signos coherente
- Sustituir cada caída de tensión resistiva mediante V = R·I
- Resolver el sistema de ecuaciones
- Interpretar los signos y comprobar las ecuaciones de nudo y malla con los resultados
Test
Usa el convenio indicado. Las opciones incorrectas reproducen un signo cambiado en la ecuación de nudo o en una ecuación de malla.